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Dalle relazioni tra nodi a una geometria

Un grafo è solo un elenco di chi è collegato a chi. Ecco come si ottengono da quell’elenco distanza, dimensione, curvatura e area, contando. Non serve matematica oltre al conteggio: ogni numero è calcolato dal vivo dai collegamenti, senza usare coordinate.

Usa Avanti. La lezione spiega il metodo su spazi dalla risposta nota, poi lo applica al nostro grafo. Non afferma che il nostro grafo sia uno spazio.

Cosa portarsi a casa

La geometria si può contare. La distanza è in passi, la dimensione è quanto in fretta si riempie una palla, la curvatura è lo scarto dal conteggio piatto.
L’intreccio dà l’area. Se i collegamenti sono coppie intrecciate, i collegamenti su un confine ne contano l’entropia.
Un numero non è uno spazio. Un valore di d significa qualcosa solo se resta uguale a taglie maggiori e non dipende dai dettagli della regola.
Il tempo è un passo a parte. Tutto fino alla curvatura riguarda lo spazio. Il tempo richiede eventi e il loro ordine.

Queste regole le abbiamo inventate noi?

In gran parte no, ed è questo che le rende verificabili. Ognuna ha una ragione semplice, e ognuna può dare una risposta sbagliata.

Distanza: il minor numero di passi. La distanza è quanto serve per arrivare da qualche parte. Se un’influenza si muove lungo i collegamenti, il minor numero di collegamenti è la misura naturale. Rispetta anche le proprietà di ogni distanza, per ragioni matematiche e non per scelta.
Dimensione: quanto in fretta si riempie una palla. Su una linea, raddoppiando il raggio raddoppia ciò che racchiudi; su un piano quadruplica; in un volume diventa otto volte tanto. È un’idea matematica antica, usata ben prima dei grafi.
Curvatura: lo scarto dal conteggio piatto. È un risultato classico: su una superficie curva, i piccoli cerchi racchiudono meno o più che su un piano, e quello scarto misura la curvatura. Si può scoprire che la Terra è curva senza lasciarla.
Area: i collegamenti sul confine. Per una coppia di qubit intrecciati è un teorema. Dire che quest’area si comporti anche come un’area nella gravità è un’ipotesi.

Alcune scelte sono nostre, e le teniamo in vista: che cosa conta come collegamento quando lo stato non è fatto di coppie semplici, le soglie dei test, e il fatto di ignorare la forza dei collegamenti. Altre scelte ragionevoli potrebbero dare numeri diversi. Per questo le proviamo prima su spazi dalla risposta nota: se il righello sbaglia su una griglia, non lo usiamo sul nostro grafo.